Szabó Szabolcs

A fizika és a matematika tantárgyi kapcsolatai – a fizikatanár szemével

Jelenleg a magyar középfokú oktatásban számos iskolatípus, képzési forma létezik egymás mellett. Vannak nyolcosztályos, hatosztályos, négyosztályos gimnáziumok, vannak olyan gimnáziumok, melyek saját általános iskolával rendelkeznek, léteznek alapítványi iskolák, ...stb. A különféle iskolatípusokon belül az egyes tantárgyakat sokszor teljesen különböző módón dolgozzák fel az intézmények, az iskolák munkaközösségei. Sokan a hagyományos, tantárgyankénti oktatást részesítik előnyben, meghagyva ezzel a tantárgyak saját belső struktúráját. Mások arra törekszenek, hogy a rokontárgyak között minél szorosabb logikai és gondolati kapcsolatot teremtsenek, elősegítve ezzel a tantárgyak integrációját. Ezek mögött a törekvések mögött a természetnek megismerési igénye húzódik meg, amely nem tesz különbséget fizika, kémia, biológia vagy földrajz tantárgy között. A természetben lejátszódó jelenségeket, folyamatokat a maga egységében igyekszik megragadni, leírni, hozzáférhetővé tenni. Azt eldönteni, hogy melyik oktatási mód a jobb, az eredményesebb, nem lehet eldönteni. Erről a szakemberek, a szülők, a tanárok véleménye is teljesen megoszlik. Mindegyiknek megvan a saját maga előnye, és mindegyik magában hordozza saját maga korlátait is.

Akármelyik iskolatípust vagy tantárgyi feldolgozást tekintjük is, a természettudományok oktatása nem nélkülözheti a megfelelő matematikai ismereteket. A természet törvényeit a kvalitatív felismerés után kvantitatív formában kell megadni ahhoz, hogy a tanulók tudásának mérésre, modellkészítésre, folyamatok előre történő becslésére is alkalmas legyen. Éppen ezért egyik oktatási forma sem nélkülözheti a matematikával való szoros kapcsolatot. Számtalan esetben előfordul, hogy a fizika egyes témái azért nem érthetők, taníthatók akkor, amikor azt a tantárgy belső struktúrája megkívánná, mert a tanulók még nem rendelkeznek szükséges matematikai ismeretekkel. Ugyanakkor a fizikatanárnak a fizikának mint tantárgynak a szokásos, évtizedek alatt kikristályosodott, logikailag teljesen zárt szerkezetét kellene megbontania ahhoz, hogy a matematikával karöltve, azt mintegy megvárva haladjon tovább. Ez utóbbi ellen a fizikatanár emel szakmai kifogásokat, a matematikai ismertek túl korai tanítása ellen pedig a matematikatanár lép fel határozottan. Véleményem szerint a problémának kell, hogy legyen megoldása. Erre azonban egy matematikatanár, egy fizikatanár nem fog egyedül rátalálni. A két tárgynak együtt kell egy olyan, értelmes kompromisszumokra épülő megoldást találnia, amellyel a középiskolai természettudományos oktatás nyeri a legtöbbet.

Az alábbi munka a fizika és matematika tantárgyak kapcsolatait dolgozza fel a középiskolai oktatásban. A feldolgozás a négyosztályos oktatási rendszer normál osztályos tantervéhez igazodik. A tananyag három évre tagolt, ez azonban nem jelenti azt, hogy ne lehetne több évre elosztani, vagy kevesebbre tömöríteni. Pusztán a megfelelő óraszámokról kell gondoskodni a tantárgy számára. A fizika tananyagot 49 témakörre osztottam, ezen belül kisebb fejezetekben jelöltem, hogy milyen tartalommal gondoltam megtölteni az adott témakört. Természetesen sok esetben más témakörök is választhatók, illetve elhagyhatók. Igyekeztem a középiskolás fizika tananyagot úgy feldolgozni, hogy minden matematikai kapcsolat kiderüljön. A matematikai kapcsolatokat, csatlakozásokat minden témakörben, illetve azon belül minden fejezetben tételesen felsoroltam. Ott, ahol korábbi ismerteket kellett felsorolnom, visszautaltam annak a fejezetnek a számára, ahol az adott ismert a legelőször előfordult. Amennyiben egy, már korábban tárgyalt matematikai kapcsolat új résszel bővült, akkor a későbbi hivatkozásokban már a bővített részt magába foglaló fejezetszámra utaltam vissza (pl. a III/3-ban visszautalok az I/4-re a vektorok használatánál, tehát a szükséges ismeretek az I/4-ben vannak tételesen felsorolva, de a VII/1-ben a vektorok használata kibővül, így a VIII/1-ben már a VII/1-re utalok vissza).

A matematikát a fizikához igazítottam. A fizika tantárgyat a klasszikus, kikristályosodott formájában tekintettem át: a mechanikai ismeretektől haladtam a modern fizika irányába. Ehhez a tárgyalási módhoz gyűjtöttem össze azokat a matematikai ismereteket, melyre a fizika tantárgynak szüksége van, szüksége lehet. Ez természetesen nem azt jelenti, hogy a fizika tantárgyat csak ebben a sorrendben lehet tanítani. A tantárgy számos egyéb feldolgozása is létezik. Azért választottam ezt a sorrendet, mert ez a legelterjedtebb tárgyalási mód. A táblázatban azonos színnel jelöltem azokat a tananyagrészeket, amelyek szorosan összekapcsolódnak, megbontásukat nem tartom helyesnek a fizika tantárgy szempontjából. A különböző színű egységek azonban felcserélhetőek, közöttük nem érzek olyan szoros logikai egymásra épülést, mint az azonos színekkel jelölteken belül. Éppen ez a tagolás teszi lehetővé, hogy minden iskola, minden fizikatanár szinkronban a matematikával olyan tárgyalási sorrendet válasszon, mely leginkább megfelel a helyi adottságoknak. A fizika tantárgy tananyagegységeinek felcserélésénél ügyelni kell arra, hogy a matematikai kapcsolatokban a visszautalások sorrendje természetesen megváltozhat (pl. az I/1 tartalmazza a lineáris egyenletek megoldásának szükségességét. Ugyanez a kívánalom fogalmazódik meg a VIII/3-ban. Ha valaki előbb tárgyalja a VIII/3-at, mint az I/1-et, akkor a visszautalási sorrend értelemszerűen felcserélődik).

A táblázatban olyan matematikai témák ismertét is belefoglaltam, amelyek tanítására sok matematikatanárnak nincsen lehetősége (pl. a derivált függvény különböző szintű ismeretei). Ez nem azt jelenti, hogy ezek nélkül az ismertek nélkül az adott tananyagot nem lehet feldolgozni, megtanítani. Arról van szó, hogy a teljes matematikai apparátushoz ezek az ismertek is hozzátartoznak. Azokat a matematikai ismerteket, amelyek nem tartoznak szorosan a középiskolai tananyaghoz, kisebb betűvel szedtem.

A fizika és matematika tantárgyak kapcsolatai között van néhány olyan kiemelt téma, amelyet szinte mindig alkalmazni kell, különösképpen a feladatmegoldások során. Ezek:

• lineáris egyenletek megoldása,
• lineáris paraméteres egyenletek megoldása,
• lineáris függvények ábrázolása, használata,
• másodfokú egyenletek megoldása,
• másodfokú paraméteres egyenletek megoldása,
• másodfokú függvények ábrázolása, használata,
• műveletek vektorokkal geometriai szerkesztés segítségével,
• műveletek vektorokkal koordináták segítségével,
• szögfüggvények használata derékszögű háromszögben történő alkalmazással,
• vektorok koordinátáinak meghatározása szögfüggvények segítségével.

Ezeket a matematikai ismereteket minél hamarabb elsajátítják a tanulók, annál könnyebben értik meg a fizika tantárgyat. Célszerű tehát a matematika tananyagot úgy felépíteni, hogy a fenti lapismerteknek a lehető leghamarabb birtokába jussanak a tanulók. Természetesen a fizika tananyagot érdemes úgy összeállítani, hogy minél később kerüljenek elő bonyolultabb matematikai összefüggések.

Néhány fejezet esetében nem írtam kapcsolódó matematikai ismerteket. Ezeket a fejezeteket lehet komoly matematikai apparátus segítségével kimerítően tárgyalni, de elképzelhető ezeknek a fejezeteknek a matematikamentes, kvalitatív tárgyalása is. Ez egyfajta segítséget jelenthet azoknak, akik bizonyos matematikai ismertek tanítását szeretnék későbbre tolni (pl. a trigonometrikus függvények tárgyalását), így ezeknek a fejezeteknek a beiktatásával időt lehet nyerni.

A fizika és matematika tantárgyak tantárgyi kapcsolatai 9. évfolyam
(Évi óraszám: 74)

Témakörök	Fejezetek	Szükséges matematikai ismeret
A testek haladó mozgása, tömegpont kinematikája
I. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás	1. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás kísérleti vizsgálata és jellemzése	•   Egyenes arányosság ismerete, alkalmazása •  Lineáris egyenletek megoldása •  Koordinátarendszer ismerete •  Pontok ábrázolása koordinátarendszerben •  adatok leolvasása lineáris függvényekről (pontok megadása) •  Lineáris függvények ábrázolása pontok segítségével •  Lineáris függvények értelmezési tartományának és értékkészletének vizsgálata grafikon alapján •  Hibaszámítás ismerete (XXIX/3)
	2. Út-idő grafikon készítése és elemzése, a sebesség kiszámítása	•  Lineáris függvények meredekségének meghatározása grafikon alapján •  Lineáris függvények meredekségének meghatározása a függvény egyenletéből •  Lineáris függvények tengelymetszeteinek meghatározása •  Lineáris függvények illesztése grafikusan pontokra •  Lineáris függvények ábrázolása a függvény egyenlete alapján •  Hibaszámítás ismerete (XXIX/3)
	3. Egymásra merőleges két egyenletes mozgás összegződése	•  Két ismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldása •  Lineáris paraméteres egyenletek megoldása, megoldásainak értelmezése
	4. A sebesség, mint vektormennyiség	•  Vektorok geometriai ismerete (irány, nagyság) •  Vektorok összeadása, kivonása, szorzása valós számmal szerkesztéssel •  Vektorok megadása koordináták segítségével (legalább kétdimenziós térben) •  Vektorok összeadása, kivonása, szorzása valós számmal koordináták alapján •  Vektorok abszolútértékének meghatározása a koordinátákból •  Pitagorasz-tétele
II. Az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás	1. A egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás kísérleti vizsgálata A négyzetes úttörvény	•  Adatok leolvasása másodfokú függvényekről •  Másodfokú függvények ábrázolása pontok segítségével •  Másodfokú függvények értelmezési tartományának és értékkészletének megadása grafikonról történő leolvasással •  Hibaszámítás ismerete (XXIX/3)
	2. A sebesség változásának értelmezése, átlag- és pillanatnyi sebesség	•  Párhuzamos vektorok különbségének meghatározása szerkesztéssel és koordinátákkal •  Azonos nagyságú, különböző irányú vektorok különbségének meghatározása szerkesztéssel és koordinátákkal •  Tetszőleges vektorok különbségének meghatározása szerkesztéssel és koordinátákkal •  Vektorok összeadása, kivonása, szorzása valós számmal, szerkesztéssel (I/4) •  Vektorok összeadása, kivonása, szorzása valós számmal koordináták alapján (I/4) •  Valós számok számtani közepének kiszámolása •  Valós számok súlyozott számtani közepének kiszámolása •  Nullához tartó sorozatok hányadosának határértéke
	3. A gyorsulás fogalma	•  Lineáris függvények meredekségének meghatározása grafikon alapján (I/2) •  Lineáris függvények meredekségének meghatározása a függvény egyenletéből (I/2)
	4. Az egyenletesen változó egyenes vonalú mozgás leírása	•  Másodfokú kifejezések teljes négyzetté alakítása •  Másodfokú függvények ábrázolása a függvény egyenlete alapján •  Érintő szerkesztése grafikusan másodfokú függvényekhez •  Az érintő meredekségének értelmezése •  Másodfokú függvény tengelymetszeteinek meghatározása a függvény egyenlete alapján •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása
	5. Szabadesés A szabadon eső test mozgásának kísérleti vizsgálata A nehézségi gyorsulás
III. Egyenletes és egyenletesen változó körmozgás	1. Az anyagi pont egyenletes körmozgásának kísérleti vizsgálata	•  Forgásszögek meghatározása fokokban és ívmértékben •  Egyenes arányosság ismerete, alkalmazása (I/1) •  Adatok leolvasása lineáris függvényekről (pontok megadása) (I/1) •  Lineáris függvények ábrázolása pontok segítségével (I/1)
	2. Az egyenletes körmozgás kinematikai leírása	•  Lineáris függvények ismerete (lásd I/2)
	3. Az egyenletesen gyorsuló körmozgás kinematikai leírása	•  Vektorok ismerete (I/4) •  Másodfokú kifejezések teljes négyzetté alakítása •  Másodfokú függvények ábrázolása a függvény egyenlete alapján
	4. A gyorsulás, mint vektormennyiség	•  Műveletek vektorokkal (I/4, II/2) •  Nullához tartó sorozatok hányadosának határértéke (II/2)
IV.Mozgások szuperpozíciója	1. Függőleges hajítás	•  Másodfokú függvények ismerete (lásd II/1 és II/4–5)
	2. Vízszintes és ferde hajítás	•  Pontok távolságának meghatározása koordinátarendszerben (lásd I/4, vektorok abszolútértéke) •  Másodfokú függvények ismerete (lásd II/1 és II/4–5) •  Paraméteres lineáris és másodfokú kifejezések változóinak kifejezése a paraméter segítségével •  Szögfüggvények ismerete derékszögű háromszögben történő felbontás alapján •  Vektorok koordinátáinak meghatározása a vektor abszolútértékének és tengelyekkel bezárt szögének szögfüggvényei segítségével
Dinamika
V. A tehetetlenség törvénye	1. A mozgásállapot tehetetlenségére utaló kísérletek, a tehetetlenség fogalma	•  Vektorok ismerete (lásd I/4)
	2. A tehetetlenség törvényének alapvető szerepe a dinamikában	•  Fordított arányosság ismerete •  Fordított arányosság ábrázolása pontok segítségével •  Fordított arányosság ábrázolása a függvény egyenlete alapján
	3. Az inerciarendszer	•  Koordinátarendszer ismerete (I/1)
VI. Newton II. törvénye	1. A mozgásállapot-változás és a kölcsönhatás vizsgálata	•  Vektorok ismerete (lásd I/4) •  Szögfüggvények ismerete derékszögű háromszögben történő felbontás alapján (IV/2) •  Vektorok koordinátáinak meghatározása a vektor abszolútértékének és tengelyekkel bezárt szögének szögfüggvényei segítségével (IV/
	2. Az erő és a tömeg értelmezése, mértékegysége	•  Műveletek vektorokkal (lásd VI/1)
	3. Kiterjedt testek mozgása, tömegközéppontja	•  Két pont súlyozott középpontjának meghatározása a csúcsok helyvektoraiból ill. koordinátáiból •  Háromszög súlypontjának meghatározása a csúcsok helyvektoraiból ill. koordinátáiból •  Háromszög súlyozott középpontjának meghatározása a csúcsok helyvektoraiból ill. koordinátáiból •  A súlypontra kapott eredmények általánosítása
VII. Hatás-ellenhatás törvénye	1. A kölcsönhatásban fellépő erők vizsgálata	•  Műveletek vektorokkal (I/4, II/2) •  Vektorok koordinátáinak meghatározása a vektor abszolútértékének és tengelyekkel bezárt szögének szögfüggvényei segítségével (IV/2)
VIII. Erőtörvények	1. Nehézségi erő	•  Vektorok használata (VII/1)
	2. Kényszererők	•  Vektorok használata (VII/1)
	3. Súrlódás, közegellenállás Rugóerő	•  Vektorok használata (VII/1) •  Lineáris függvények ábrázolása a függvény egyenlete alapján (I/2) •  Lineáris paraméteres egyenletek megoldása, megoldásainak értelmezése (I/3)
IX. Erők együttes hatása	1. Az erőhatások függetlensége, az erők vektoriális összegzése	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Vektorok használata (VII/1) •  Vektorok skaláris és vektoriális szorzása
	2. Erők egyensúlya
	3. Forgatónyomatékok egyensúlya
X. A lendület-megmaradás	1. A lendület-megmaradás törvénye és alkalmazása	•  Vektorok használata (VII/1) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Hibaszámítás ismerete (XXIX/3)
	2. Kísérletek, példák, mindennapi jelenségek (pl. ütközések, rakéta)
XI. Körmozgás dinamikai vizsgálata	1. A körmozgás dinamikai leírása	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Vektorok használata (VII/1) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5)
	2. A sugárirányú és érintő irányú gyorsulást okozó erők felismerése mindennapi jelenségekben
XII. Egyetemes tömegvonzás	1. A Newton-féle gravitációs törvény	•  Az f(x) = 1/x és az f(x) = 1/x2 függvények ismerete •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5)
	2. A heliocentrikus világkép és annak történelmi előzményei
	3. Bolygómozgás: Kepler-törvények A mesterséges égitestek mozgása
Munka, energia
XIII. A munka értelmezése	1. A munka fogalma, a munka kiszámítása különböző esetekben	•  Vektorok használata (VII/1) •  Vektorok skaláris szorzása •  Lineáris függvények ismerete (I/2) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3)
	2. A munka kiszámítása állandó erő és irányába mutató elmozdulás esetén
	3. A munka kiszámítása állandó erő és szöget bezáró elmozdulás esetén
	4. A munka kiszámítása lineárisan változó erő / rugóerő / munkája esetén	•  Lineáris függvények ismerete (I/2) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5)
XIV. Mechanikai energia-fajták	1. Mozgási energia	•  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5) •  Az f(x) = 1/x, és az f(x) = 1/x2 függvények ismerete (XII/1–3)
	2. Potenciális energia (magassági, gravitációs kölcsönhatási, rugalmassági)
	3. Munkatétel és alkalmazása egyszerű feladatokban
XV. A mechanikai energia-megmaradás törvénye	1. A mechanikai energia megmaradásának törvénye és érvényességi köre	•  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5) •  Az f(x) = 1/x, és az f(x) = 1/x2 függvények ismerete (XII/1–3)
	2. A mechanikai energia megmaradás alkalmazása egyszerű feladatokban
XVI. A teljesítmény és hatásfok	1. A teljesítmény és hatásfok fogalma	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Hibaszámítás ismerete (XXIX/3)
	2. A teljesítmény és hatásfok kiszámítása hétköznapi példákon

A fizika és matematika tantárgyak tantárgyi kapcsolatai 10. évfolyam
(Évi óraszám: 92)

Témakörök	Fejezetek	Szükséges matematikai ismeret
Hőtan
XVII. Hőtani alapjelenségek	1. Hőtágulás	•  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Egyszerűbb nevezetes azonosságok ismerete •  Nagyságrend becslése, elhanyagolások •  Hibaszámítás ismerete (XXIX/3)
	2. Hővezetés, hőáramlás
	3. Hőmérséklet mérése
XVIII. Gázok állapotváltozásai	1. Állapotjelzők (hőmérséklet, térfogat, nyomás, anyagmennyiség)	•  Fordított arányosság ismerete (V/2) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Az f(x) = 1/x függvények ismerete (XII/1–3)
	2. Boyle-Mariotte és Gay-Lussac törvények
	3. Kelvin-féle hőmérsékleti skála
	4. Az egyesített gáztörvény, a gázok állapotegyenlete
	5. Izoterm, izobár, izochor, állapotváltozások értelmezése	•  Az f(x) = 1/x függvények ismerete (XII/1–3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2)
	6. Nyílt folyamatok ábrázolása p-V diagramon	•  Az f(x) = 1/x függvények ismerete (XII/1–3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Többváltozós kifejezésekbe történő behelyettesítés, átalakítása egyes változók állandó értéken tartása mellett •  Többváltozós függvények ábrázolása, transzformációi két változóval és a többi rögzítésével
XIX. Az anyag atomos szerkezete	1. Korábbi ismeretek (súlyviszonytörvények, Avogadro-törvény) új szempontú rendszerezése	•  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3)
	2. Az atomok, molekulák mérete.	•  Nagyságrend becslése, elhanyagolások (XVII/1–3) •  Hibaszámítás ismerete (XXIX/3)
XX. Molekuláris hőelmélet	1. Az „ideális gáz” és modellje	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3)
	2. Makroszkopikus termodinamikai mennyiségek	•  Többváltozós kifejezésekbe történő behelyettesítés, átalakítása egyes változók állandó értéken tartása mellett (XVIII/6)
	3. Jelenségek értelmezése a részecskemodell alapján (a kinetikus gázelmélet alapjai)/td>	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2)
	4. A gáz belső energiája/td>	•  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5)
XXI. A hőtan I. főtétele	1. A belső energia fogalmának általánosítása	•  Többváltozós kifejezésekbe történő behelyettesítés, átalakítása egyes változók állandó értéken tartása mellett (XVIII/6) •  Többváltozós függvények ábrázolása, transzformációi két változóval és a többi rögzítésével
	2. Az energia-megmaradás törvényének általános megfogalmazása – I. főtétel	•  Többváltozós kifejezésekbe történő behelyettesítés, átalakítása egyes változók állandó értéken tartása mellett (XVIII/6) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2)
	3. Termikus kölcsönhatások vizsgálata, szilárd anyagok és folyadékok fajhője	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Nagyságrend becslése, elhanyagolások
	4. Gázok állapotváltozásainak (izobár, izoterm, izochor és adiabatikus folyamat) kvalitatív és kvantitatív vizsgálata az I. főtétel alapján	•  Fordított arányosság ismerete (V/2) •  Az f(x) = 1/x függvények ismerete (XII/1–3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5)
	5. A gázok fajhője mólhője
XXII. A hőtan II. főtétele	1. A termodinamikai folyamatok iránya	•  Többváltozós kifejezésekbe történő behelyettesítés, átalakítása egyes változók állandó értéken tartása mellett (XVIII/6) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2)
	2. Hőmérséklet-változások vizsgálata spontán hőtani folyamatok során	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2)
XXIII. Halmazállapot-változások	1. Olvadás-fagyás, forrás/párolgás lecsapódás jellemzése	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Hibaszámítás ismerete (XXIX/3)
	2. A nyomás szerepe a halmazállapot-változásokban
	3. Halmazállapot-változások energetikai vizsgálata, olvadáshő, párolgáshő
Elektrosztatika
XXIV. Elektromos alapjelenségek	1. A elektromos állapot, a töltés fogalma, töltött testek, megosztás, vezetők, szigetelők	•  Vektorok használata (VII/1)
	2. Töltések közti kölcsönhatás, Coulomb-törvény	•  Az f(x) = 1/x, és az f(x) = 1/x2függvények ismerete (XII/1–3)
XXV. Az elektromos tér	1. A térerősség fogalma	•  Az f(x) = 1/x, és az f(x) = 1/x2 függvények ismerete (XII/1–3) •  Vektorok használata (VII/1) •  Vektorok skaláris szorzása (XIII/1) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Nagyságrend becslése, elhanyagolások (XVII/1–3) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5)
	2. Homogén tér, ponttöltés tere, erővonalak
	3. A feszültség és potenciál fogalma
	4. Vezetők viselkedése elektromos térben
	5. Gyakorlati alkalmazások: csúcshatás, árnyékolás, elektromos kisülés, földelés
XXVI. Kondenzátorok	1. A kapacitás fogalma	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Nagyságrend becslése, elhanyagolások (XVII/1–3) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5)
	2. Kondenzátorok kapcsolása
	3. Az elektromos tér energiája
Egyenáramok
XXVII. Az egyenáram	1. Az egyenáram fogalma, jellemzése	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Nagyságrend becslése, elhanyagolások (XVII/1–3)
	2. Ohm-törvény
	3. Vezetők ellenállása, fajlagos ellenállása
XXVIII. Az elemi töltés	1. Az elektromosság atomos szerkezete (elektrolízis, Millikan-kísérlet, az elemi töltés)	•  Többváltozós kifejezésekbe történő behelyettesítés, átalakítása egyes változók állandó értéken tartása mellett (XVIII/6) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3)
	2. Áramvezetés mechanizmusa fémekben, félvezetőkben
XXIX. Egyenáramú hálózatok	1. Kirchhoff-törvények	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3)
	2. Ellenállások soros és párhuzamos kapcsolása	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5)
	3. Áramerősség és feszültség mérése, műszerek kapcsolása, méréshatáruk kiterjesztése	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Nagyságrend becslése, elhanyagolások (XVII/1–3) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Abszolút hiba ismerete számolása, számolása •  Relatív hiba ismerete, számolása •  Szórás fogalma •  Hibaterjedés fogalma
	4. Egyenáramú áramforrás – galvánelemek	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Nagyságrend becslése, elhanyagolások (XVII/1–3)
XXX. Az elektromos áram munkája, teljesítménye	1. Az elektromos munka, teljesítmény fogalma, fogyasztók teljesítménye, Joule-hő	•  Vektorok használata (VII/1) •  Vektorok skaláris szorzása (XIII/1) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5)
Elektromágneses indukció
XXXI. A mágneses tér	1. A mágneses tér kísérleti vizsgálata, a magnetométer	•  Vektorok használata (VII/1) •  Vektorok skaláris szorzása (XIII/1) •  Vektorok vektoriális szorzata
	2. A mágneses tér jellemzése; a mágneses indukció vektor fogalma, erővonalak	•  Vektorok használata (VII/1) •  Vektorok skaláris szorzása (XIII/1) •  Vektorok vektoriális szorzata (XXXI/1)
	3. Áramok mágneses tere (hosszú egyenes vezető, tekercsek)	•  Az f(x) = 1/x és az f(x) = 1/x2 függvények ismerete (XII/1–3) •  Vektorok használata (VII/1) •  Vektorok skaláris szorzása (XIII/1) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5)
	4. A Föld mágnessége
XXXII. Erőhatások mágneses térben A Lorentz-erő	1. Árammal átjárt vezetők mágneses térben; vezetők kölcsönhatása	•  Az f(x) = 1/x és az f(x) = 1/x2 függvények ismerete (XII/1–3) •  Vektorok használata (VII/1) •  Vektorok skaláris szorzása (XIII/1) •  Vektorok vektoriális szorzata (XXXI/1) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5)
	2. Az egyenáramú motor működésének elve
	3. Mozgó töltések mágneses térben, a Lorentz-erő
	4. Kísérletek katódsugarakkal, a fajlagos töltés fogalma
XXXIII. Mozgási indukció	1. A mozgási indukció kísérleti vizsgálata, a jelenség magyarázata	•  Vektorok használata (VII/1) •  Vektorok skaláris szorzása (XIII/1) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5) •  Az f(x) = 1/x, és az f(x) = 1/x2függvények ismerete (XII/1–3) •  A derivált függvény fogalmának értelmezése •  A differenciálás geometriai interpretációjának értelmezése •  Polinomok, az f(x) = 1/x, és az f(x) = 1/x2, sinus és cosinus függvények deriváltjainak ismerete •  Fontosabb deriválási szabályok
	2. Az indukált feszültség és kiszámítása, Lenz-törvénye
	3. Váltakozó feszültség kísérleti előállítása, váltakozó feszültség, váltakozó áram fogalma és jellemzése	•  A sinus és cosinus függvények ismerete •  Periodikus függvények fogalmának ismerete •  Periodikus függvény tulajdonságainak leolvasása grafikon alapján •  Periodikus függvények ábrázolása pontok alapján
	4. Effektív teljesítmény, effektív feszültség, effektív áramerősség fogalma és mérése	•  Függvények zárt intervallumon vett átlagának értelmezése •  Határozott integrál fogalmának ismerete
	5. A hálózati elektromos energia előállítása
XXXIV. Nyugalmi indukció	1. A nyugalmi indukció kísérleti vizsgálata, Lenz-törvénye és általánosítása	•  Vektorok használata (VII/1) •  Vektorok skaláris szorzása (XIII/1) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5) •  Az f(x) = 1/x, és az f(x) = 1/x2függvények ismerete (XII/1–3) •  A derivált függvény fogalmának értelmezése •  A differenciálás geometriai interpretációjának értelmezése •  Polinomok, az f(x) = 1/x, és az f(x) = 1/x2, sinus és cosinus függvények deriváltjainak ismerete •  Fontosabb deriválási szabályok
	2. Önindukció és kölcsönös indukció jelensége, értelmezése és gyakorlati vonatkozásaik
	3. A transzformátor működésének alapelve és gyakorlati alkalmazásai
	4. Az áramjárta tekercs (mágneses tér) energiája

A fizika és matematika tantárgyak tantárgyi kapcsolatai 11. évfolyam
(Évi óraszám: 74)

Témakörök	Fejezetek	Szükséges matematikai ismeret
Rezgések, hullámok
XXXV. Mechanikai rezgés	1. A harmonikus rezgőmozgás kísérleti vizsgálata	•  Sinus és cosinus függvények grafikonjának ismerete, ábrázolása, tulajdonságai •  A derivált függvény fogalmának értelmezése •  A differenciálás geometriai interpretációjának értelmezése (XXXII/1–2) •  Polinomok, az f(x) = 1/x, és az f(x) = 1/x2 sinus és cosinus függvények deriváltjainak ismerete (XXXII/1–2) •  Fontosabb deriválási szabályok (XXXII/1–2)
	2. A harmonikus rezgőmozgás grafikus ábrázolása
	3. A rezgést jellemző mennyiségek A dinamika alapegyenletének alkalmazása a rugalmas erőhatások esetén	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5)
	4. A rezgőmozgás energetikai jellemzése.
	5. A rezgést befolyásoló külső hatások következményei (csillapodás, kényszerrezgés és rezonancia kísérleti vizsgálata, csatolt rezgések)	•  Sinus és cosinus függvények grafikonjának ismerete, ábrázolása, tulajdonságai •  A derivált függvény fogalmának értelmezése •  Trigonometrikus azonosságok alkalmazása •  Függvények grafikus összeadása •  Függvények összeadása a függvény egyenlete alapján
	6. A fonálinga kísérleti vizsgálata	•  Sinus és cosinus függvények ismerete (XXXV/1) •  Nagyságrend becslése, elhanyagolások (XVII/1–3)
XXXVI. Mechanikai hullámok	1. A hullám, mint a közegben terjedő rezgésállapot	•  Sinus és cosinus függvények ismerete (XXXV/1) •  Trigonometrikus azonosságok alkalmazása •  Függvények grafikus összeadása •  Függvények összeadása a függvény egyenlete alapján •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3)
	2. Longitudinális és transzverzális hullám
	3. A hullámot jellemző mennyiségek: hullámhossz, periódusidő, terjedési sebesség
	4. Hullámjelenségek kísérleti vizsgálata gumikötélen és hullámkádban
	5. Hullámok visszaverődése és törése, elhajlás, interferencia
	6. Állóhullámok kialakulása kötélen
XXXVII. A hanghullám tulajdonságai	1. A hangképzés sajátságai ( pl. egy húros, fúvós hangszer esetében)	•  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5) •  Trigonometrikus azonosságok alkalmazása •  Függvények grafikus összeadása •  Függvények összeadása a függvény egyenlete alapján •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5)
	2. A hang terjedése közegben A hétköznapi hangtani fogalmak fizikai értelmezése (hang magassága, hangerősség, alaphang, felhangok, hangszín, hangsor, hangköz)
	3. Doppler jelenség
XXXVIII. Elektromágneses hullámok	1. Az elektromágneses jelenségek rendszerezése	•  Sinus és cosinus függvények ismerete (XXXV/1) •  Vektorok használata (VII/1) •  Vektorok skaláris szorzása (XIII/1) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5) •  Másodfokú függvények ismerete (II/4–5) •  Az f(x) = 1/x, és az f(x) = 1/x2 függvények ismerete (XII/1–3) •  A derivált függvény fogalmának értelmezése •  A differenciálás geometriai interpretációjának értelmezése •  Polinomok, az f(x) = 1/x, és az f(x) = 1/x2, sinus és cosinus függvények deriváltjainak ismerete •  Fontosabb deriválási szabályok •  Függvények zárt intervallumon vett átlagának értelmezése (XXXIII/4-5) •  Határozott integrál fogalmának ismerete (XXXIII/4-5)
	2. Változó elektromos tér mágneses tere (eltolódási áram)
	3. Elektromágneses rezgések egyszerű rezgőkörben, csatolás
	4. Az elektromágneses hullám fogalma, jellemzése
	5. Az elektromágneses hullámok spektruma, elektromágneses hullámok a mindennapi életben
	6. A fény, mint elektromágneses hullám
XXXIX. Optika Hullámoptika és geometriai optika	1. A fény tulajdonságainak vizsgálata: a fény terjedése vákuumban és anyagban (terjedési sebesség)	•  Trigonometrikus azonosságok alkalmazása •  Függvények grafikus összeadása (XXXVI/1–6) •  Függvények összeadása a függvény egyenlete alapján (XXXVI/1–6) •  Sinus és cosinus függvények ismerete (XXXV/1)
	2. A fénysebesség, mint határsebesség
	3. Visszaverődés, törés (Snellius-Descartes - törvény, teljes visszaverődés, optikai eszközök képalkotása, leképezési törvény)	•  Forgásszögek meghatározása fokokban és ívmértékben (III/1) •  Szögfüggvények ismerete derékszögű háromszögben történő felbontás alapján (IV/2) •  Lineáris egyenletek megoldása (I/3) •  Lineáris függvények ismerete (I/1, I/2) •  Másodfokú egyenletek megoldóképletének ismerete, megoldása (II/4–5)
	4. Elhajlás résen, rácson, interferencia, fénypolarizáció	•  Trigonometrikus azonosságok alkalmazása •  Függvények grafikus összeadása (XXXVI/1–6) •  Függvények összeadása a függvény egyenlete alapján (XXXVI/1–6)
	5. A fehér fény színekre bontása, színkeverés
	6. Hullámhossz-mérés	•  Nagyságrend becslése, elhanyagolások (XVII/1–3) •  Függvények grafikus összeadása (XXXVI/1–6) •  Trigonometrikus azonosságok alkalmazása •  Sinus és cosinus függvények ismerete (XXXV/1)
Modern fizika
XXXX. A fény kettős természete	1. A fény hullámtulajdonságai (összefoglalása)	•  Trigonometrikus azonosságok alkalmazása •  Függvények grafikus összeadása (XXXVI/1–6) •  Függvények összeadása a függvény egyenlete alapján (XXXVI/1–6) •  Vektorok használata (VII/1)
	2. A fényelektromos jelenség, a fény részecske természete	•  Nagyságrend becslése, elhanyagolások (XVII/1–3)
	3. Fotocella, napelem, gyakorlati alkalmazások
XXXXI. Az elektron kettős természete	1. Az elektron, mint részecske	•  Nagyságrend becslése, elhanyagolások (XVII/1–3)
	2. Elektroninterferencia, az elektron-hullám, gyakorlati alkalmazása, az elektronmikroszkóp	•  Trigonometrikus azonosságok alkalmazása •  Függvények grafikus összeadása (XXXVI/1–6) •  Függvények összeadása a függvény egyenlete alapján (XXXVI/1–6)
XXXXII. Atommodellek	1. A modellek kísérleti alapjai, előremutató sajátságai és hibái
	2. Thomson-féle atommodell
	3. Rutherford-féle modell (az atommag)
	4. Bohr-modell: diszkrét energiaszintek
	5. Vonalas színkép, fény kisugárzása és elnyelése
	6. Kvantummechanikai atommodell	•  A derivált függvény fogalmának matematikai értelmezése
Magfizika
XXXXIII. Az atommag szerkezete	1. A nukleonok (proton, neutron), a nukleáris kölcsönhatás jellemzése
	2. Tömegdefektus
XXXXIV. A radioaktivitás	1. Alfa-, béta- és gammabomlás jellemzése	•  Exponenciális egyenletek megoldása •  Exponenciális függvény menetének ismerete •  Logaritmus fogalmának ismerete •  Logaritmikus egyenletek megoldása •  Logaritmus függvény menetének ismerete
	2. Aktivitás fogalma, időbeli változása
	3. Radioaktív sugárzás környezetünkben, a sugárvédelem alapjai
	4. A természetes és mesterséges radioaktivitás gyakorlati alkalmazásai
XXXXV. Maghasadás	1. A maghasadás jelensége, láncreakció, sokszorozási tényező	•  Exponenciális egyenletek megoldása •  Exponenciális függvény menetének ismerete •  Logaritmus fogalmának ismerete •  Logaritmikus egyenletek megoldása •  Logaritmus függvény menetének
	2. Atombomba, atomerőmű Az atomenergia felhasználásának előnyei és kockázata
XXXXVI. Magfúzió	1. A magfúzió jelensége, a csillagok energiatermelése
	2. A hidrogénbomba
Csillagászat
XXXXVII. Csillagfejlődés	1. A csillagok születése, fejlődése és pusztulása
	2. Kvazárok, pulzárok, neutron csillagok, fekete-lyukak galaktikák
XXXXVIII. Kozmológia alapjai	1. Az Univerzum tágulása; Hubble-törvény; ősrobbanás elmélet
XXXXIX. Űrkutatás	1. A világűr megismerése, a kutatás irányai